Tỷ Lệ Blackjack và Lợi Thế Nhà Cái: Một Góc Nhìn Toán Học

Mô tả

Trong số các trò chơi casino, blackjack nổi tiếng vì có tỷ lệ thắng tốt nhất cho người chơi.

Đó là trò chơi mà các lý thuyết gia gọi là một

trò chơi gần như công bằng

, khi mà thực tế nó là đối xứng giữa người chơi và nhà (người chia bài).

Hơn nữa, một số yếu tố bất đối xứng của trò chơi có xu hướng có lợi cho người chơi:

• người chơi biết được lá bài đầu tiên của người chia bài trước khi bắt đầu chơi;
• người chia bài không được phép tách bài hoặc gấp đôi;
• người chơi được trả một nửa số tiền cược ban đầu nếu họ đạt được blackjack ở phiên bản cổ điển của trò chơi.

Giống như trong bất kỳ trò chơi may rủi nào, các sự kiện trong blackjack đều có tỷ lệ và xác suất đi kèm.

Thông tin toán học này được dùng để đánh giá lợi thế của người chơi trong các thời điểm khác nhau của trò chơi và để xây dựng các chiến lược khách quan.

Lợi thế rõ ràng của người chơi trong blackjack không thể được hiện thực hóa nếu không có thông tin toán học này.

Trong hướng dẫn này, bạn sẽ học về

tỷ lệ blackjack, xác suất,

và

lợi thế của nhà

, và cách chúng thay đổi theo tiến trình trò chơi, cũng như theo các quy tắc hoặc phiên bản trò chơi.

Bạn sẽ tìm hiểu những tình huống nào có lợi cho người chơi và những tình huống nào không, liên quan đến tỷ lệ blackjack và vai trò của tỷ lệ trong việc đánh giá lợi thế của bạn và thực hiện các hành động chiến lược.

Dưới đây là

các chủ đề chính được đề cập trong hướng dẫn này

:

• Giá trị kỳ vọng và Lợi thế của nhà
• Lợi thế của nhà trong Blackjack
• Định nghĩa Tỷ lệ và Xác suất
• Tại sao biết tỷ lệ blackjack là quan trọng
• Tỷ lệ thanh toán blackjack

Không dài dòng nữa, hãy cùng đi sâu vào vấn đề!

Giá trị kỳ vọng và Lợi thế của nhà

Xác suất và tỷ lệ thanh toán cung cấp điều được gọi là giá trị kỳ vọng (hoặc kỳ vọng toán học hoặc đơn giản là kỳ vọng) của một cược (EV), theo công thức chung:

EV = (xác suất thắng) × (tỷ lệ thanh toán nếu thắng) + (xác suất thua) × (thua nếu thua)

, trong đó số lỗ được nhập vào như một số âm.

EV của cược đó là

0.2284 x $1 + 0 – 0.6516 x $1 = – 0.4232 $.

Kết quả này có thể được diễn giải như sau:

Nếu tiếp tục đặt cược khi tình huống này xảy ra, bạn có thể kỳ vọng mất trung bình 42.32 cent cho mỗi đô la cược. Ở đây, trung bình được sử dụng theo nghĩa thống kê chứ không phải như một trung bình cộng.

Lợi thế của nhà

hoặc

lợi thế của nhà (HE)

được định nghĩa là dấu đối diện (dấu +/-) của giá trị kỳ vọng: HE = – EV.

HE được biểu thị dưới dạng tỷ lệ phần trăm và được tính như tỷ lệ giữa số lỗ trung bình và cược ban đầu. Trong ví dụ trên, HE của cược đó là 42.32%. HE cũng gắn liền với một trò chơi, chứ không chỉ với một cược. HE của một trò chơi là trung bình của các HE của tất cả các cược có thể.

Nó ngược lại về mặt dấu với kỳ vọng tổng thể của tất cả các cược có thể, tính toán như một trung bình thống kê.

HE được hiểu là tỷ lệ lợi nhuận mà nhà cái kiếm được trên lâu dài từ các cược của người chơi.

Một HE dương là sự đảm bảo toán học rằng nhà cái sẽ không bị phá sản với trò chơi đó, bất kể cược nào được đặt, chiến lược nào được áp dụng, hoặc có bao nhiêu người chơi tại bàn.

Cần lưu ý rằng lợi thế của nhà trong một trò chơi không phải là một tham số cố định và phong cách chơi/cược thay đổi HE liên quan đến cách chơi đó.

Các chiến lược tối ưu và gần tối ưu (cho các trò chơi cho phép chúng, chẳng hạn như blackjack) làm giảm lợi thế của nhà.

Lợi thế của nhà trong Blackjack

Chúng ta đã thấy trong phần giới thiệu rằng

lợi thế của nhà (HE) là dấu trái ngược với giá trị kỳ vọng tổng thể (HE = – EV)

. Đây là trung bình thống kê hoặc tổng hợp các kỳ vọng của tất cả các cược có thể của trò chơi.

Trong blackjack, giống như trong bất kỳ trò chơi nào khác, HE là một chỉ báo thống kê mà người chơi nên nhận thức để được thông báo về mức lỗ trung bình mà họ có thể mong đợi trong thời gian dài liên quan đến cược của họ.

Số phạm vi thô cho lợi thế của nhà trong blackjack có thể nằm trong khoảng từ 0.1% đến 2.7%.

Còn về chơi chiến lược, nó có thể giảm bất kỳ HE nào xuống giới hạn thấp nhất với chiến lược cơ bản.

Sự giảm thiểu cao nhất của HE đạt được với chiến lược tối ưu dựa trên

Các phiên bản truyền thống của blackjack có HE dưới 0.5% cho chiến lược cơ bản.

Nhưng tại sao HE thay đổi theo các quy tắc hoặc chiến lược?

Câu trả lời nằm ngay trong định nghĩa của HE (hoặc EV), nơi mà các tích giữa xác suất và tỷ lệ thanh toán được cộng với nhau:

• Khi một xác suất thay đổi, HE thay đổi;
• Khi một tỷ lệ thanh toán thay đổi, HE thay đổi;
• Khi một tích mới xuất hiện hoặc một tích bị loại bỏ khỏi công thức, HE thay đổi.

Một quy tắc blackjack ảnh hưởng đến xác suất thắng và thua, bất kể chúng ta nói về số lượng bộ bài được sử dụng, cách chia bài và xáo trộn, cho phép gấp đôi, số tay để tách ra, nhượng bộ muộn, tách lại Aces, và rất nhiều điều khác.

Blackjack trả 6 ăn 5 làm thay đổi tỷ lệ thanh toán cho sự kiện này từ 3/2 thành 6/5 và do đó thay đổi HE.

Các phiên bản blackjack kiểu thưởng (blackjack thưởng, Hi/Lo 13, chuỗi cao, cặp hoàn hảo, và nhiều điều khác) cũng đưa ra tỷ lệ thanh toán mới vào phương trình và do đó là lợi thế của nhà mới.

Về các chiến lược tối ưu, chúng làm tăng xác suất thắng cho một số cấu hình đặc biệt trong tiến trình trò chơi, điều này ảnh hưởng đến kỳ vọng và HE.

Bảng tiếp theo ghi chú lợi thế của nhà của các phiên bản blackjack nổi tiếng nhất, cho chiến lược cơ bản:

Trò chơi	Lợi thế của nhà
Atlantic City Blackjack	0.36%
American Blackjack	0.35%
Big 5 Blackjack	0.47%
Classic Blackjack	0.13%
Double Exposure	0.69%
European Blackjack	0.42%
Pontoon	0.41%
Premier Blackjack	0.42%
Spanish Blackjack	0.38%
Super Fun 21	0.94%
Vegas Downtown Blackjack	0.39%
Vegas Single Deck	0.35%
Vegas Strip Blackjack	0.35%

Bảng tiếp theo ghi chú sự tăng hoặc giảm của lợi thế của nhà phụ thuộc vào sự biến đổi quy tắc, liên quan đến lợi thế của nhà của blackjack cổ điển:

Biến thể quy tắc	Tác động của lợi thế nhà
Blackjack trả 6 ăn 5	+1.39%
Người chia bài đánh soft 17	+0.22%
Gấp đôi chỉ trên 10 hoặc 11	+0.18%
Không thể gấp đôi sau khi tách	+0.14%
Quy tắc không có lá bài của người chia bài ở châu Âu	+0.11%
Tách tối đa hai tay	+0.10%
Gấp đôi chỉ trên 9, 10 hoặc 11	+0.09%
Không có nhượng bộ muộn	+0.08%
Tách tối đa ba tay	+0.01%
Có thể tách lại Aces	-0.10%
Gấp đôi cứu trợ (nhượng bộ sau khi gấp đôi)	-0.10%
Đánh hoặc gấp đôi trên Aces tách ra	-0.19%
Gấp đôi trên bất kỳ số lá bài nào	-0.23%
Người chơi 21 thắng ngay lập tức	-0.54%
Blackjack trả 2 ăn 1	-2.27%

Tách biệt, bảng sau ghi chú sự gia tăng lợi thế của nhà liên quan đến trò chơi một bộ bài, tùy thuộc vào số lượng bộ bài được sử dụng:

Số lượng bộ bài	Lợi thế của nhà
2	+0.412%
4	+0.556%
5	+0.584%
6	+0.603%
8	+0.627%

Điều quan trọng nhất cần lưu ý là

những người chơi

có thể

làm chủ những chiến lược tối ưu

có thể hưởng lợi từ lợi thế của nhà thấp nhất

cho cùng một phiên bản blackjack.

Chỉ cần nhìn vào các bảng trên, người ta có thể thấy rằng một số tổ hợp quy tắc cho lợi thế của nhà thấp nhất trong tổng thể.

Hiển nhiên, blackjack 3:2 có lợi hơn nhiều so với blackjack 6:5 và blackjack 2:1 cung cấp sự giảm thiểu cao nhất về HE (-2.27%).

Một trò chơi một bộ bài 3:2 với bất kỳ quy tắc nào; Đánh hoặc gấp đôi trên Aces tách ra, Gấp đôi trên bất kỳ số lá bài nào và Người chơi 21 thắng ngay lập tức là một tổ hợp làm giảm HE của một trò chơi blackjack cổ điển với một trong những tỷ lệ giảm cao nhất liên quan đến các quy tắc.

Người ta nói rằng blackjack cung cấp tỷ lệ tốt nhất trong số các trò chơi casino.

Điều này là đúng về lợi thế của người chơi hoặc lợi thế nhà. Lợi thế nhà tiêu chuẩn 0.5% của blackjack không phải là một lợi thế mà bạn có thể dễ dàng tìm thấy giữa các trò chơi may rủi.

Lấy ví dụ như Roulette châu Âu, có HE là 2.7%, lớn gấp 5.4 lần lợi thế nhà tiêu chuẩn của blackjack hoặc 24.5 lần lợi thế nhà của blackjack chơi với chiến lược tối ưu.

Sự khác biệt thiết yếu là lợi thế của roulette không thể giảm bớt bằng các chiến lược, trong khi lợi thế của blackjack thì có thể.

Tuy nhiên,

câu nói về tỷ lệ tốt nhất không đúng nếu bạn nghĩ về tỷ lệ như khả năng thắng.

Với ý nghĩa này về tỷ lệ, roulette cung cấp tỷ lệ thắng cao nhất trong các trò chơi casino – với một số cược kết hợp, người ta có thể đạt trên 90% chiến thắng, mặc dù xác suất cao này bị bù đắp bởi tỷ lệ lợi nhuận thấp.

Sự cân bằng giữa xác suất thắng và lợi nhuận cũng phản ánh lợi thế của nhà, và blackjack rõ ràng đứng đầu các trò chơi casino với lợi thế nhà thấp nhất.

Định nghĩa Tỷ lệ và Xác suất

Trong các trò chơi may rủi và nói chung, xác suất xảy ra của một sự kiện được định nghĩa là tỷ lệ giữa số kết quả có khả năng xảy ra tương đương với sự kiện đó và số tất cả kết quả có khả năng xảy ra.

Tập hợp các kết quả này được gọi là không gian mẫu. Không quan trọng liệu các kết quả được sản xuất bằng xúc xắc, thẻ, biểu tượng hay số trên các cuộn, bánh xe hoặc màn hình; xác suất của một kết quả hoặc kết quả nhất định được tính toán như một tỷ lệ, như đã mô tả.

Xác suất này được gọi là xác suất rời rạc cổ điển và có thể áp dụng trong tất cả các trò chơi may rủi. Xác suất của một sự kiện luôn là một số không âm nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Sự kiện mà chúng ta tính toán xác suất là không chắc chắn, trong khi thông tin chúng ta sử dụng cho tính toán này là chắc chắn.

Ví dụ từ blackjack

Như bạn thấy, xác suất phụ thuộc vào thông tin có sẵn.

Do đó, cùng một sự kiện có thể có xác suất khác nhau ở các thời điểm khác nhau của trò chơi, tùy thuộc vào tiến trình của trò chơi và sự thay đổi trong thông tin đó.

Mọi thay đổi trong cấu hình của trò chơi sẽ thay đổi không gian mẫu và xác suất liên quan đến các sự kiện.

Xác suất là một thước đo khách quan về khả năng xảy ra của một sự kiện. Nó phản ánh khả năng của sự kiện này xảy ra, được biểu thị bằng các thuật ngữ toán học.

Trong các ví dụ trên, các sự kiện đơn giản được đo bằng xác suất, tuy nhiên, các trò chơi may rủi và đánh bạc

bao gồm nhiều sự kiện phức tạp hơn

, thuộc nhiều loại khác nhau. Đối với những sự kiện như vậy, xác suất có thể được tính bằng cách sử dụng các thuộc tính của xác suất và các kỹ thuật toán học khác nhau.

Chúng ta đã thấy rằng xác suất là một tỷ lệ, nhưng nó có thể được biểu thị không chỉ dưới dạng phần hoặc phần trăm, mà còn dưới dạng tỷ lệ cược.

Tỷ lệ là cách để thể hiện xác suất của một sự kiện liên quan đến xác suất của sự kiện trái ngược.

Mặc dù các thuật ngữ tỷ lệ và xác suất có định nghĩa khác nhau, nhưng chúng biểu thị cùng một khía cạnh có thể đo lường của một sự kiện và việc sử dụng chúng thay thế cho nhau không hẳn là một sai lầm.

Khi hỏi Tỷ lệ của điều đó là gì? liên quan đến một sự kiện không chắc chắn, chúng ta có thể trả lời bằng một phần/phần trăm như xác suất số hoặc tỷ lệ cược (chống lại).

Tuy nhiên, trong ngôn ngữ đánh bạc, thuật ngữ tỷ lệ cũng được sử dụng với một nghĩa khác, liên quan đến tỷ lệ thanh toán hoặc tiền thưởng của một cược.

Nó biểu thị hệ số mà số tiền cược của một cược được nhân với và được cung cấp như tiền thanh toán trong trường hợp cược thắng.

Tỷ lệ Blackjack Giải thích

Trong trò chơi bài blackjack, các sự kiện mà chúng ta có thể đo lường trong xác suất được biểu thị dưới dạng tổng điểm: tỷ lệ đạt được 18, 19, 20 hoặc 21 điểm, đạt được hơn 18 điểm, hoặc hơn 21 điểm (bust).

Trong các trò chơi bài, các kết quả là sự kết hợp của các lá bài và các phép tính xác suất sử dụng phép tính tổ hợp.

Đó là lý do tại sao việc tính toán tỷ lệ cho những trò chơi này khó hơn so với các trò chơi may rủi khác. Không phải tất cả các xác suất đều có thể được tính toán bằng tay hoặc theo công thức rõ ràng. Khi các sự kiện đo lường quá phức tạp, các nhà toán học sử dụng các phương pháp cụ thể hoặc thậm chí phần mềm dựa trên mô phỏng để thực hiện các tính toán như vậy.

Trong blackjack, các sự kiện được biểu thị như tổng điểm có thể được phân tích thành các kết hợp các lá bài.

Để tính toán xác suất của sự kiện đó trong một tình huống nhất định, chúng ta cần loại bỏ khỏi những kết hợp cuối cùng đó những cái chứa bất kỳ lá bài nào đã thấy (các lá bài của người chơi đã rút và lá bài của người chia bài),

đếm các kết hợp còn lại

và

chia số đó cho số tất cả các kết hợp hai lá bài có thể cho hai lá bài

.

Tuy nhiên, tỷ lệ blackjack vẫn khó tính toán hơn so với tỷ lệ trong poker, chẳng hạn.

Điều này xảy ra bởi vì nỗ lực tổ hợp mở rộng đến việc phân tích bất kỳ tổng nào thành các tổng tương ứng với giá trị của các lá bài (phân chia) cho một số sự kiện. Số lượng các phân chia này lên đến hàng trăm.

Tỷ lệ tức thì trong blackjack

Các tỷ lệ blackjack dễ tính toán nhất được gọi là tỷ lệ tức thì. Đây là xác suất của các sự kiện thể hiện một kết quả với lá bài tiếp theo đến. Chúng có thể được tính toán bởi người chơi chỉ bằng một số đếm tối thiểu.

Nếu bạn xác định sự kiện của mình như một phạm vi cho tổng điểm (ngụ ý một phạm vi cho các giá trị sẽ đến với lá bài tiếp theo), như trong ví dụ của chúng tôi trước đây, bạn phải áp dụng công thức cho từng giá trị trong phạm vi đó, sau đó cộng các kết quả lại với nhau.

Tất nhiên, khả năng thực hiện các phép tính như vậy trong quá trình chơi, bao gồm cả việc đếm các giá trị còn lại trong bộ bài không phải là khả năng của tất cả mọi người,

nhưng có thể được đào tạo.

Các công thức và kết quả trên có thể áp dụng trong trường hợp trò chơi được chơi với một bộ bài đầy đủ hoặc nhiều bộ bài và xáo trộn và chia bài cổ điển.

Blackjack hiện đại thường được chơi với nhiều bộ bài (thường là sáu), được xáo trộn và chia ra bởi một lá bài trống ở khoảng một phần năm của bộ bài.

Quy tắc này ngăn cản việc tính toán các tỷ lệ tức thì hoặc đếm bài vì các giá trị không được phân bổ đều trong thành phần của bộ bài đang chơi.

Các tỷ lệ tức thì có vai trò trong việc đánh giá vị trí hoặc lợi thế của bạn ở mọi thời điểm của trò chơi, nhưng chúng không phản ánh tất cả thông tin có sẵn về ai có nhiều khả năng thắng tay cuối cùng.

Có

3 lý do cho điều đó

:

• Nếu vào thời điểm đánh giá, tổng của bạn thấp (giả sử, dưới 10), không nhất thiết có lá bài tiếp theo được rút sẽ tạo ra sự khác biệt, mà là hai lá bài tiếp theo hoặc nhiều hơn;
• Các tỷ lệ cho tổng điểm hoặc các tổng điểm nhất định thay đổi đáng kể với mỗi lá bài mới được chia;
• Mặc dù bạn có thể đạt được tổng điểm mục tiêu của mình, đến lượt người chia bài và tỷ lệ của người chia bài trở nên quan trọng như của bạn.

Tỷ lệ dài hạn trong blackjack

Tỷ lệ dài hạn là xác suất của các sự kiện thể hiện một kết quả với nhiều hơn một lá bài cần đến.

Thông thường, các sự kiện cuối cùng được xem xét khi ước lượng tỷ lệ dài hạn, như các tổng điểm đạt được hoặc ai sẽ thắng.

Các tỷ lệ này được tính toán hoặc ước lượng sử dụng thông tin có sẵn ở một giai đoạn trung gian của trò chơi cho các sự kiện phản ánh kết thúc của trò chơi.

Càng nhiều thông tin có sẵn cho các tỷ lệ dài hạn, thì việc đo lường của chúng càng có liên quan. Điều này tất nhiên ngược lại với số lượng lá bài đã thấy.

Tuy nhiên, hầu hết các tỷ lệ dài hạn thực sự không thể được tính toán theo cách tổ hợp, hoặc bằng tay hoặc theo công thức rõ ràng.

Lý do là số lượng kết hợp có thể là rất lớn mà một tổng điểm nhất định có thể được phân tích thành các phân chia và sự phát triển không tuyến tính của các tổng.

Các nhà toán học đã từ lâu vật lộn kể từ những năm 1950 để tính toán các tỷ lệ như vậy khi xử lý các chiến lược tối ưu trong blackjack.

Ý tưởng lớn là gán một xác suất cố định là 1/13 cho các giá trị thẻ cá nhân, ngoại trừ các thẻ có giá trị 10, được gán xác suất là 4/13 (vì chúng có số lượng lớn gấp bốn lần các thẻ có giá trị dưới 10).

Tất nhiên, giả định này chỉ hợp lệ cho một bộ thẻ trừu tượng với kích thước vô hạn, vì xác suất thay đổi với mỗi lá bài mới được chia ra.

Dù sao thì, giả định này cho phép các nhà toán học mô hình hóa sự phát triển của các tổng điểm với các lá bài đã rút như một chuỗi Markov.

Theo mô hình này, các nhà toán học có thể xấp xỉ xác suất dài hạn tổng thể bằng cách sử dụng các phương pháp hồi quy và lặp.

Giải thưởng lớn của phương pháp toán học này là sự hình thành

chiến lược tối ưu của blackjack dựa trên việc tối đa hóa kỳ vọng

, giữa những năm 1956 và 1964.

Một phân bổ cho xác suất tổng thể dự kiến đạt được của người chia bài đối với các tổng điểm khác nhau là trong bảng sau:

Tổng số	Xác suất
17	0.1451
18	0.1395
19	0.1335
20	0.1803
21	0.0727
Blackjack	0.0473
Bust	0.2816

Bảng:

Xác suất tổng thể dự kiến của người chia bài đạt được từ 17 đến 21 điểm, blackjack hoặc bust.

Các tỷ lệ trong bảng trên được xác định mà không có thông tin bổ sung nào có sẵn, tức là, trước khi bất kỳ lá bài nào được chia.

Rõ ràng, các tỷ lệ này trở nên có liên quan hơn nếu được tính toán theo điều kiện lá bài đầu tiên của người chia bài.

Điều này có thể được thực hiện theo cách lặp lại, bằng cách tính toán xác suất của giá trị cuối cùng điều kiện trên các trạng thái trung gian tùy ý của người chia bài:

1. 
   Bắt đầu bằng giá trị của người chia bài 16.
   
   Các giá trị cuối cùng 17, 18, 19, 20, và 21 được đạt với xác suất 1/13 cho mỗi cái. Người chia bài vượt quá giá trị 21 với xác suất 8/13.
2. 
   Tiếp theo, xét giá trị của người chia bài là 15.
   
   Một lần nữa, các giá trị từ 17 đến 21 được đạt với xác suất 1/13 cho mỗi cái. Trường hợp lá bài A được rút tiếp theo trở lại trường hợp mà chúng ta đã cân nhắc của giá trị người chia bài là 16. Kết quả cuối cùng từ 17 đến 21 đạt được với xác suất 1/13 + 1/169 = 14/169.
3. 
   Giờ hãy chuyển sang giá trị của người chia bài là 14.
   
   Chúng ta lại có xác suất 1/13 cho mỗi giá trị cuối cùng từ 17 đến 21. Hai giá trị mà chúng ta đã cân nhắc là 15 và 16 được đạt với xác suất 1/13. Tất cả lại, các giá trị cuối cùng từ 17 đến 21 đạt được với xác suất 1/13 + 14/2197 + 1/169 = 196/2197.

Tiếp tục tính toán này theo thứ tự ngược lại của biên niên sử, người ta có thể lấy xác suất cho tất cả 13 tình huống liên quan đến lá bài đầu tiên của người chia bài.

Các tỷ lệ này không tính đến các lá bài của người chơi, vì chúng phản ánh thông tin có sẵn trước khi người chơi bắt đầu chơi.

Chúng ta có thể thấy trong bảng này ở hàng cuối cùng rằng tỷ lệ cao nhất cho người chia bài bust là khi lá bài đầu tiên của họ là 5 hoặc 6.

Bạn có thể quan tâm nhiều hơn đến tỷ lệ thắng của người chơi khi họ quyết định giữ tổng số mà họ đã đạt được. Những tỷ lệ này có thể được lấy từ tỷ lệ của người chia bài trong bảng trước.

Bảng tiếp theo ghi chú tất cả tỷ lệ cho người chơi thắng nếu họ quyết định không rút, điều kiện theo lá bài đầu tiên của người chia bài.