Giới thiệu về Toán học Casino

Mô tả

Khi phần lớn mọi người ra khỏi một casino, họ thường hỏi “

Tại sao tôi lại thua?

” Điều này diễn ra vì hầu hết

trò chơi casino

vốn có một kỳ vọng tiêu cực cho người chơi. Điều này có nghĩa là cho mỗi lần cược được thực hiện trên một trò chơi, máy đánh bạc hoặc trò chơi bàn, nó hoàn trả ít hơn số tiền đã cược.

Ví dụ, khi 1 triệu người cược 1 đô la mỗi người và một người thắng 500,000 đô la, casino sẽ thu lợi 500,000 đô la và trung bình mỗi người thua 0.5 đô la. Trong các máy đánh bạc, tỷ lệ hoàn vốn thường ở mức khoảng 97-99%.

Điều này diễn ra trên toàn bộ quãng đời của máy, trong đó một máy có thể thu nhận hàng trăm triệu đô la trong suốt thời gian hoạt động của nó. Các trò chơi bàn có sự khác biệt nhẹ vì một số trò chơi bao gồm yếu tố kỹ năng, và tỷ lệ lợi thế của casino thay đổi từ người chơi này sang người chơi khác.

Hiểu rõ về toán học liên quan đến trò chơi casino là điều cần thiết để đánh giá kết quả. Kiến thức được trình bày ở đây là cần thiết để xác định xem các kết quả, tốt hay xấu, có chấp nhận được về mặt thống kê hay không.

Bên trong Toán Học

Ở đây, tôi sẽ giới thiệu về

toán học

của trò chơi casino. Tôi sẽ áp dụng phân tích này cho trò chơi Blackjack. Blackjack là một trò chơi với các tỷ lệ thay đổi. Và mặc dù các tỷ lệ liên tục thay đổi, tỷ lệ tổng cộng của lợi thế chung vẫn không đổi. Điều này được thực hiện bằng cách lấy tổng các lợi thế trên tất cả các khả năng.

Ví dụ, nếu một tổng tay có lợi thế dương 5% và một tổng tay khác có lợi thế -4%, thì tổng lợi thế cho hai tay đó là +1%. Khi người đọc hiểu được phương pháp này, thật dễ dàng để dịch các khái niệm sang bất kỳ trò chơi casino nào khác có lợi thế không đổi so với người chơi (như

slots

hoặc roulette).

Định Luật của Các Thí Nghiệm Độc Lập

Hầu hết các trò chơi may rủi phản ánh khái niệm toán học được gọi là “định luật thí nghiệm độc lập.” Điều này có nghĩa là các sự kiện trong quá khứ không có liên quan đến các sự kiện trong tương lai. Ví dụ, khi một đồng xu được thảy lên, có 50% khả năng kết quả sẽ là mặt ngửa và 50% khả năng sẽ là mặt sấp.

Nếu đồng xu liên tiếp ra mặt ngửa 10 lần, lần thảy tiếp theo vẫn sẽ có 50% khả năng là mặt ngửa. Trong

blackjack

, những gì xảy ra trong quá khứ có ảnh hưởng trực tiếp đến những gì xảy ra trong tương lai. Blackjack có bộ nhớ và định luật các thí nghiệm độc lập không hợp lệ.

Trong Blackjack, mỗi lá bài có một giá trị cụ thể mà nó thêm vào hoặc trừ đi từ lợi thế ban đầu mà casino có so với người chơi. Lợi thế ban đầu xuất phát từ các quy tắc của trò chơi. Khi các lá bài được chia, lợi thế có thể tăng hoặc giảm. Trong blackjack, khi một lá Át hoặc lá bài giá trị 10 được chia, lợi thế của casino so với người chơi sẽ tăng lên. Khi các lá bài có giá trị thấp hơn được đưa vào chơi (2-7), lợi thế của casino sẽ giảm xuống.

Để xác định số tiền mà người chơi mong đợi thắng hoặc thua trong một khoảng thời gian nhất định (bất kể là casino hay người chơi), ba thông tin chính là cần thiết. Chúng là:

1. Kích thước cược
2. Số tay hoặc lượt quay
3. Tỷ lệ lợi thế

Dưới dạng phương trình, tuyên bố này được viết như sau:

Kỳ vọng $ thắng = $ cược * % lợi thế * # tay chơi

Phương trình 1

Khi chúng ta áp dụng kịch bản giá trị kỳ vọng cho một lượt thảy đồng xu, chúng ta biết rằng có hai mặt của đồng xu, vì vậy có 50% khả năng mặt ngửa và 50% khả năng mặt sấp. Khi chúng ta cược 1 đô la cho mỗi lượt thảy, phương trình cho số tiền chúng ta mong đợi thắng qua 100 lượt thảy là:

$50=$1 (

cược

)*0.5% (%

lợi thế

)*100(#

tay chơi

)

Phương trình 2

Trong ví dụ này, chúng ta đã cược 100 đô la và thắng 1 đô la trên 50 trong số các cược đó. Chúng ta cũng đã giữ lại cược ban đầu 1 đô la trên 50 trong số 100 cược đó. Ngoài ra chúng ta đã thua 1 đô la trên 50 trong số các cược. Điều này dẫn đến một trò chơi có tổng bằng không.

Xem Xét Phương Sai

Khi một đồng xu được thảy lên 100 lần, kết quả hiếm khi là chính xác 50 mặt ngửa và 50 mặt sấp. Do đó, chúng ta cần giới thiệu khái niệm phương sai trên số lượng sự kiện.

Phương sai

là một thước đo sự phân tán thống kê. Nói một cách đơn giản, nó liên quan đến khoảng cách từ giá trị kỳ vọng mà kết quả của một thí nghiệm có thể xảy ra.

Tiếp tục với ví dụ về việc thảy đồng xu, phương sai giúp trả lời câu hỏi liệu có bất ngờ hay không nếu chúng ta quan sát được 45 mặt ngửa trong 100 thí nghiệm, hoặc nếu chúng ta chỉ quan sát được 5 mặt ngửa trong 100 lần thảy đồng xu. Các câu trả lời là không và có. Chỉ có 5 mặt ngửa trong 100 lần thảy đồng xu chắc chắn chỉ ra rằng bạn đang thảy một đồng xu không cân bằng. Hiểu khái niệm này là rất quan trọng để đánh giá kết quả của trò chơi casino, vì phân tích thống kê đúng đắn xác định liệu người chơi hoặc casino có bị lừa đảo hay không.

Phương sai thường được thảo luận trong các thuật ngữ của độ lệch chuẩn, và đó cũng sẽ là trường hợp trong cuộc thảo luận này. Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cho một loạt các thí nghiệm được biểu thị bằng ký tự Hy Lạp σ (sigma) và bằng độ lệch chuẩn của mỗi sự kiện nhân với căn bậc hai của số lượng sự kiện. Tuyên bố toán học đọc như sau:

σ (tổng) =〖σ( sự kiện) * √(Số sự kiện)〗^

Phương trình 3

Hình ảnh sau đây cho thấy khả năng các kết quả rơi vào một, hai và ba độ lệch chuẩn so với kết quả kỳ vọng. Trong biểu đồ, giá trị kỳ vọng được biểu thị bằng ký tự Hy Lạp µ và Độ Lệch Chuẩn được biểu thị bằng ký tự Hy Lạp σ.

Theo đường cong phân phối Gaussian, có hơn 68% khả năng rằng kết quả sẽ nằm trong một độ lệch chuẩn, cộng hoặc trừ so với giá trị kỳ vọng. Có hơn 95% khả năng rằng các kết quả sẽ nằm trong hai độ lệch chuẩn, cộng hoặc trừ so với giá trị kỳ vọng. Có khoảng 99.9% khả năng rằng các kết quả sẽ nằm trong ba độ lệch chuẩn tại bất kỳ thời điểm nào.

Áp dụng điều này vào kịch bản 100 lần thảy đồng xu, chúng ta kết luận rằng độ lệch chuẩn cho 100 lần thử là 10 lần (căn bậc hai của 100) độ lệch chuẩn cho một lần thử (có giá trị 0.5), gợi ý rằng độ lệch chuẩn là 5 cho thí nghiệm 100 lần thử.

Trong kịch bản thảy đồng xu, chúng ta mong đợi 50 trong số 100 lật sẽ ra mặt ngửa và 50 trong số 100 sẽ ra mặt sấp. Bao gồm khái niệm độ lệch chuẩn cộng hoặc trừ 5, có 68% khả năng rằng cho 100 lượt thảy đồng xu, mặt ngửa sẽ xuất hiện từ 45 đến 55 lần. Có 95%

khả năng

rằng số lượng mặt ngửa sẽ nằm trong khoảng từ 40 đến 60 (2*σ) và khoảng 99.9% khả năng rằng số lượng mặt ngửa sẽ nằm trong khoảng từ 35 đến 65 (3*σ).

Giá Trị Kỳ Vọng và Độ Lệch Chuẩn

Áp dụng các phương trình giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn cho đơn vị cược 100 đô la trong một trò chơi casino với lợi thế 1% (người chơi hoặc nhà cái), các kết quả sau được tính toán.

Từ góc độ đồ họa, nó được biểu diễn như sau.

Khi số lượng sự kiện tăng lên, độ lệch chuẩn trở nên nhỏ hơn và nhỏ hơn so với giá trị kỳ vọng. Tại một thời điểm nào đó trên đường cong, giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn giao nhau.

Tại thời điểm này, có 84% khả năng rằng độ lệch chuẩn sẽ nhỏ hơn giá trị kỳ vọng. Điều này có nghĩa là có 84% khả năng rằng sẽ có lợi nhuận từ thời điểm đó trở đi và số tiền của bạn sẽ không bao giờ giảm xuống mức thấp hơn số tiền khởi điểm ban đầu. Điểm giao nhau này cho một trò chơi với lợi thế 1% được hiển thị trong đồ thị sau.

ĐỂ ĐƠN GIẢN, GIÁ TRỊ ĐỘ LỆCH CHUẨN LÀ TUYỆT ĐỐI

Điểm giao nhau giữa giá trị kỳ vọng và độ lệch chuẩn nằm ngay dưới 12,000 sự kiện. Tại 12,000 sự kiện, có 84% khả năng rằng giá trị kỳ vọng sẽ vượt qua độ lệch chuẩn âm, cho thấy người chơi sẽ không bị mất toàn bộ số tiền cược 84% thời gian.

Điểm Tương Đương

Khi lợi thế tổng thể tăng lên, “điểm tương đương”, hay số lượng sự kiện mà tại đó giá trị kỳ vọng bằng với độ lệch chuẩn, được đạt được trong ít sự kiện hơn. Tính toán đồ thị tương tự với lợi thế 2%, đồ thị chỉ ra một điểm tương đương thấp hơn đáng kể, khoảng 5000 sự kiện.

ĐỂ ĐƠN GIẢN, GIÁ TRỊ ĐỘ LỆCH CHUẨN LÀ TUYỆT ĐỐI

Cuối cùng, các casino có thể đạt đến “điểm tương đương” một cách rất nhanh chóng. Điều này là hợp lý vì các casino chơi game 24 giờ một ngày, bảy ngày một tuần. Và vì gần như tất cả người chơi đều chơi với bất lợi, các casino kiếm được nhiều tiền hơn với ít biến đổi hơn so với giá trị kỳ vọng của họ.